Integral de ((x-8)^(1/2))-(x-8)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = x - 8$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt{u}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(x - 8\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(x - 8\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(x - 8\right)^{2}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x - 8$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x - 8\right)^{3}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x - 8\right)^{2} = x^{2} - 16 x + 64$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 16 x\right)\, dx = - 16 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 8 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 64\, dx = 64 x$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 8 x^{2} + 64 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(x - 8\right)^{3}}{3}$

   El resultado es: $\frac{2 \left(x - 8\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{\left(x - 8\right)^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(x - 8\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{\left(x - 8\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(x - 8\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{\left(x - 8\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x - 8\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{\left(x - 8\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$