Sr Examen

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Integral de lnx/(x(1-ln^2x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  3                   
 e                    
  /                   
 |                    
 |       log(x)       
 |  --------------- dx
 |    /       2   \   
 |  x*\1 - log (x)/   
 |                    
/                     
 2                    
e                     
e2e3log(x)x(1log(x)2)dx\int\limits_{e^{2}}^{e^{3}} \frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - \log{\left(x \right)}^{2}\right)}\, dx
Integral(log(x)/((x*(1 - log(x)^2))), (x, exp(2), exp(3)))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos du- du:

      (uu21)du\int \left(- \frac{u}{u^{2} - 1}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        uu21du=uu21du\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          uu21du=2uu21du2\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du}{2}

          1. que u=u21u = u^{2} - 1.

            Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(u21)\log{\left(u^{2} - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log(u21)2\frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log(u21)2- \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(log(x)21)2- \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log(x)x(1log(x)2)=log(x)xlog(x)2x\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - \log{\left(x \right)}^{2}\right)} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2} - x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (log(x)xlog(x)2x)dx=log(x)xlog(x)2xdx\int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2} - x}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2} - x}\, dx

      1. que u=log(x)2u = \log{\left(x \right)}^{2}.

        Luego que du=2log(x)dxxdu = \frac{2 \log{\left(x \right)} dx}{x} y ponemos dudu:

        12u2du\int \frac{1}{2 u - 2}\, du

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2u2u = 2 u - 2.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(2u2)2\frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            12u2=12(u1)\frac{1}{2 u - 2} = \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            12(u1)du=1u1du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

            1. que u=u1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log(u1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log(u1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(2log(x)22)2\frac{\log{\left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: log(2log(x)22)2- \frac{\log{\left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log(x)x(1log(x)2)=log(x)xlog(x)2+x\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - \log{\left(x \right)}^{2}\right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)}^{2} + x}

    2. que u=log(x)2u = \log{\left(x \right)}^{2}.

      Luego que du=2log(x)dxxdu = \frac{2 \log{\left(x \right)} dx}{x} y ponemos du- du:

      (12u2)du\int \left(- \frac{1}{2 u - 2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        12u2du=12u2du\int \frac{1}{2 u - 2}\, du = - \int \frac{1}{2 u - 2}\, du

        1. que u=2u2u = 2 u - 2.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(2u2)2\frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log(2u2)2- \frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(2log(x)22)2- \frac{\log{\left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log(log(x)21)2+constant- \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(log(x)21)2+constant- \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                          
 |                             /        2   \
 |      log(x)              log\-1 + log (x)/
 | --------------- dx = C - -----------------
 |   /       2   \                  2        
 | x*\1 - log (x)/                           
 |                                           
/                                            
log(x)x(1log(x)2)dx=Clog(log(x)21)2\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - \log{\left(x \right)}^{2}\right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}
Gráfica
8910111213141516171819201-2
Respuesta [src]
log(3)   log(8)
------ - ------
  2        2   
log(8)2+log(3)2- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}
=
=
log(3)   log(8)
------ - ------
  2        2   
log(8)2+log(3)2- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}
log(3)/2 - log(8)/2
Respuesta numérica [src]
-0.490414626505863
-0.490414626505863

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.