Sr Examen

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Resolución de integrales/ ln^2x/ lnx/(x(1-ln^2x))

Integral de lnx/(x(1-ln^2x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3                   
 e                    
  /                   
 |                    
 |       log(x)       
 |  --------------- dx
 |    /       2   \   
 |  x*\1 - log (x)/   
 |                    
/                     
 2                    
e
∫e2e3log⁡(x)x(1−log⁡(x)2) dx\int\limits_{e^{2}}^{e^{3}} \frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - \log{\left(x \right)}^{2}\right)}\, dx 
Integral(log(x)/((x*(1 - log(x)^2))), (x, exp(2), exp(3)))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos −du- du:

      ∫(−uu2−1) du\int \left(- \frac{u}{u^{2} - 1}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫uu2−1 du=−∫uu2−1 du\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫uu2−1 du=∫2uu2−1 du2\int \frac{u}{u^{2} - 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} - 1}\, du}{2}

          1. que u=u2−1u = u^{2} - 1.

            Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u2−1)\log{\left(u^{2} - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u2−1)2\frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u2−1)2- \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(log⁡(x)2−1)2- \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x)x(1−log⁡(x)2)=−log⁡(x)xlog⁡(x)2−x\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - \log{\left(x \right)}^{2}\right)} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2} - x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−log⁡(x)xlog⁡(x)2−x) dx=−∫log⁡(x)xlog⁡(x)2−x dx\int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2} - x}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2} - x}\, dx

      1. que u=log⁡(x)2u = \log{\left(x \right)}^{2}.

        Luego que du=2log⁡(x)dxxdu = \frac{2 \log{\left(x \right)} dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫12u−2 du\int \frac{1}{2 u - 2}\, du

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2u−2u = 2 u - 2.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2u−2)2\frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            12u−2=12(u−1)\frac{1}{2 u - 2} = \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(u−1) du=∫1u−1 du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u−1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(2log⁡(x)2−2)2\frac{\log{\left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2log⁡(x)2−2)2- \frac{\log{\left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x)x(1−log⁡(x)2)=log⁡(x)−xlog⁡(x)2+x\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - \log{\left(x \right)}^{2}\right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)}^{2} + x}

    2. que u=log⁡(x)2u = \log{\left(x \right)}^{2}.

      Luego que du=2log⁡(x)dxxdu = \frac{2 \log{\left(x \right)} dx}{x} y ponemos −du- du:

      ∫(−12u−2) du\int \left(- \frac{1}{2 u - 2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12u−2 du=−∫12u−2 du\int \frac{1}{2 u - 2}\, du = - \int \frac{1}{2 u - 2}\, du

        1. que u=2u−2u = 2 u - 2.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2u−2)2\frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2u−2)2- \frac{\log{\left(2 u - 2 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(2log⁡(x)2−2)2- \frac{\log{\left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(log⁡(x)2−1)2+constant- \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(log⁡(x)2−1)2+constant- \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                             /        2   \
 |      log(x)              log\-1 + log (x)/
 | --------------- dx = C - -----------------
 |   /       2   \                  2        
 | x*\1 - log (x)/                           
 |                                           
/
∫log⁡(x)x(1−log⁡(x)2) dx=C−log⁡(log⁡(x)2−1)2\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - \log{\left(x \right)}^{2}\right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
8910111213141516171819201-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
log(3)   log(8)
------ - ------
  2        2
−log⁡(8)2+log⁡(3)2- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} 
=
= 
log(3)   log(8)
------ - ------
  2        2
−log⁡(8)2+log⁡(3)2- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} 
log(3)/2 - log(8)/2
Respuesta numérica [src] 
-0.490414626505863
-0.490414626505863

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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