Sr Examen

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Integral de dx/(x+1)*(ln(x+1))^1/5 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                  
  /                  
 |                   
 |  5 ____________   
 |  \/ log(x + 1)    
 |  -------------- dx
 |      x + 1        
 |                   
/                    
0                    
01log(x+1)5x+1dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt[5]{\log{\left(x + 1 \right)}}}{x + 1}\, dx
Integral(log(x + 1)^(1/5)/(x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x+1u = x + 1.

      Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

      log(u)5udu\int \frac{\sqrt[5]{\log{\left(u \right)}}}{u}\, du

      1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

        Luego que du=duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos du- du:

        (log(1u)5u)du\int \left(- \frac{\sqrt[5]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          log(1u)5udu=log(1u)5udu\int \frac{\sqrt[5]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt[5]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du

          1. que u=log(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=duudu = - \frac{du}{u} y ponemos du- du:

            (u5)du\int \left(- \sqrt[5]{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u5du=u5du\int \sqrt[5]{u}\, du = - \int \sqrt[5]{u}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u5du=5u656\int \sqrt[5]{u}\, du = \frac{5 u^{\frac{6}{5}}}{6}

              Por lo tanto, el resultado es: 5u656- \frac{5 u^{\frac{6}{5}}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5log(1u)656- \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}

          Por lo tanto, el resultado es: 5log(1u)656\frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        5log(u)656\frac{5 \log{\left(u \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}

      Si ahora sustituir uu más en:

      5log(x+1)656\frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}

    Método #2

    1. que u=log(x+1)u = \log{\left(x + 1 \right)}.

      Luego que du=dxx+1du = \frac{dx}{x + 1} y ponemos dudu:

      u5du\int \sqrt[5]{u}\, du

      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        u5du=5u656\int \sqrt[5]{u}\, du = \frac{5 u^{\frac{6}{5}}}{6}

      Si ahora sustituir uu más en:

      5log(x+1)656\frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}

  2. Ahora simplificar:

    5log(x+1)656\frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}

  3. Añadimos la constante de integración:

    5log(x+1)656+constant\frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

5log(x+1)656+constant\frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                       
 |                                        
 | 5 ____________               6/5       
 | \/ log(x + 1)           5*log   (x + 1)
 | -------------- dx = C + ---------------
 |     x + 1                      6       
 |                                        
/                                         
log(x+1)5x+1dx=C+5log(x+1)656\int \frac{\sqrt[5]{\log{\left(x + 1 \right)}}}{x + 1}\, dx = C + \frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Respuesta [src]
     6/5   
5*log   (2)
-----------
     6     
5log(2)656\frac{5 \log{\left(2 \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}
=
=
     6/5   
5*log   (2)
-----------
     6     
5log(2)656\frac{5 \log{\left(2 \right)}^{\frac{6}{5}}}{6}
5*log(2)^(6/5)/6
Respuesta numérica [src]
0.536796044782372
0.536796044782372

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.