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Resolución de integrales/ (lnx)^2/ (5*x+3*x*(lnx)^2)/x^2

Integral de (5*x+3*x*(lnx)^2)/x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  E                     
  /                     
 |                      
 |               2      
 |  5*x + 3*x*log (x)   
 |  ----------------- dx
 |           2          
 |          x           
 |                      
/                       
1
∫1e5x+3xlog⁡(x)2x2 dx\int\limits_{1}^{e} \frac{5 x + 3 x \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\, dx 
Integral((5*x + (3*x)*log(x)^2)/x^2, (x, 1, E))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(3u2+5) du\int \left(3 u^{2} + 5\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u2 du=3∫u2 du\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: u3u^{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫5 du=5u\int 5\, du = 5 u

        El resultado es: u3+5uu^{3} + 5 u

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)3+5log⁡(x)\log{\left(x \right)}^{3} + 5 \log{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      5x+3xlog⁡(x)2x2=3log⁡(x)2+5x\frac{5 x + 3 x \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} = \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2} + 5}{x}

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−3log⁡(1u)2+5u) du\int \left(- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3log⁡(1u)2+5u du=−∫3log⁡(1u)2+5u du\int \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5}{u}\, du = - \int \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5}{u}\, du

        1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos dudu:

          ∫(−3u2−5) du\int \left(- 3 u^{2} - 5\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−3u2) du=−3∫u2 du\int \left(- 3 u^{2}\right)\, du = - 3 \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u3- u^{3}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−5) du=−5u\int \left(-5\right)\, du = - 5 u

            El resultado es: −u3−5u- u^{3} - 5 u

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(1u)3−5log⁡(1u)- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)3+5log⁡(1u)\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)3+5log⁡(x)\log{\left(x \right)}^{3} + 5 \log{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (log⁡(x)2+5)log⁡(x)\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 5\right) \log{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (log⁡(x)2+5)log⁡(x)+constant\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 5\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(log⁡(x)2+5)log⁡(x)+constant\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 5\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                              
 |              2                               
 | 5*x + 3*x*log (x)             3              
 | ----------------- dx = C + log (x) + 5*log(x)
 |          2                                   
 |         x                                    
 |                                              
/
∫5x+3xlog⁡(x)2x2 dx=C+log⁡(x)3+5log⁡(x)\int \frac{5 x + 3 x \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\, dx = C + \log{\left(x \right)}^{3} + 5 \log{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
1.01.21.41.61.82.02.22.42.6010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
6
66 
=
= 
6
66 
6
Respuesta numérica [src] 
6.0
6.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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