Integral de (5*x+3*x*(lnx)^2)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{2} + 5\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 5\, du = 5 u$

         El resultado es: $u^{3} + 5 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)}^{3} + 5 \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x + 3 x \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} = \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2} + 5}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5}{u}\, du = - \int \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 3 u^{2} - 5\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 3 u^{2}\right)\, du = - 3 \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- u^{3}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-5\right)\, du = - 5 u$

               El resultado es: $- u^{3} - 5 u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)}^{3} + 5 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 5\right) \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 5\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 5\right) \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$