Integral de x^2/(12-x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 12 - x^{3}$.

      Luego que $du = - 3 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(12 - x^{3} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{12 - x^{3}} = - \frac{x^{2}}{x^{3} - 12}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{3} - 12}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 12}\, dx$

      1. que $u = x^{3} - 12$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x^{3} - 12 \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{3} - 12 \right)}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{12 - x^{3}} = - \frac{x^{2}}{x^{3} - 12}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{3} - 12}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 12}\, dx$

      1. que $u = x^{3} - 12$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x^{3} - 12 \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{3} - 12 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(12 - x^{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(12 - x^{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$