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Resolución de integrales/ cos^4/ (1/2x)/ cos^4(1/2x)

Integral de cos^4(1/2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     4/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0
∫01cos⁡4(x2) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral(cos(x/2)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡4(x2)=(cos⁡(x)2+12)2\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(x)2+12)2=cos⁡2(x)4+cos⁡(x)2+14\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(x)4 dx=∫cos⁡2(x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(2x)16\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(x)2 dx=∫cos⁡(x) dx2\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x)2\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8+sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(x)2+12)2=cos⁡2(x)4+cos⁡(x)2+14\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(x)4 dx=∫cos⁡2(x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(2x)16\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(x)2 dx=∫cos⁡(x) dx2\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x)2\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8+sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x8+sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16+constant\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x8+sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16+constant\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        
 |                                         
 |    4/x\          sin(x)   sin(2*x)   3*x
 | cos |-| dx = C + ------ + -------- + ---
 |     \2/            2         16       8 
 |                                         
/
∫cos⁡4(x2) dx=C+3x8+sin⁡(x)2+sin⁡(2x)16\int \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       3                                    
3   cos (1/2)*sin(1/2)   3*cos(1/2)*sin(1/2)
- + ------------------ + -------------------
8           2                     4
sin⁡(12)cos⁡3(12)2+3sin⁡(12)cos⁡(12)4+38\frac{\sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{4} + \frac{3}{8} 
=
= 
       3                                    
3   cos (1/2)*sin(1/2)   3*cos(1/2)*sin(1/2)
- + ------------------ + -------------------
8           2                     4
sin⁡(12)cos⁡3(12)2+3sin⁡(12)cos⁡(12)4+38\frac{\sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{4} + \frac{3}{8} 
3/8 + cos(1/2)^3*sin(1/2)/2 + 3*cos(1/2)*sin(1/2)/4
Respuesta numérica [src] 
0.852566581580553
0.852566581580553

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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