Integral de (x^4+x^(-4)+2)/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{4} + \frac{1}{x^{4}}\right) + 2}{x^{3}} = x + \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{7}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x^{3}}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{x^{2}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{7}}\, dx = - \frac{1}{6 x^{6}}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{6 x^{6}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{4} + \frac{1}{x^{4}}\right) + 2}{x^{3}} = \frac{x^{8} + 2 x^{4} + 1}{x^{7}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{2 u^{4}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 + \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            El resultado es: $u - \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{1}{u} - \frac{1}{6 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{6 x^{6}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\frac{x^{8}}{2} - x^{4} - \frac{1}{6}}{x^{6}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\frac{x^{8}}{2} - x^{4} - \frac{1}{6}}{x^{6}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\frac{x^{8}}{2} - x^{4} - \frac{1}{6}}{x^{6}}+ \mathrm{constant}$