Integral de 25×x^2×sin(5x+1) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = 25 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x + 1 \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 50 x$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = 5 x + 1$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(5 x + 1 \right)}}{5}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = - 10 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x + 1 \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -10$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = 5 x + 1$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(5 x + 1 \right)}}{5}$

   Ahora resolvemos podintegral.

3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- 2 \sin{\left(5 x + 1 \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(5 x + 1 \right)}\, dx$

   1. que $u = 5 x + 1$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(5 x + 1 \right)}}{5}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos{\left(5 x + 1 \right)}}{5}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- 5 x^{2} \cos{\left(5 x + 1 \right)} + 2 x \sin{\left(5 x + 1 \right)} + \frac{2 \cos{\left(5 x + 1 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 5 x^{2} \cos{\left(5 x + 1 \right)} + 2 x \sin{\left(5 x + 1 \right)} + \frac{2 \cos{\left(5 x + 1 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$