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Resolución de integrales/ 1+y^2/ -1/(2*y*(1+y^2))

Integral de -1/(2*y*(1+y^2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |      -1         
 |  ------------ dy
 |      /     2\   
 |  2*y*\1 + y /   
 |                 
/                  
0
∫01(−12y(y2+1)) dy\int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{1}{2 y \left(y^{2} + 1\right)}\right)\, dy 
Integral(-1/((2*y)*(1 + y^2)), (y, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−12y(y2+1)) dy=−∫12y(y2+1) dy\int \left(- \frac{1}{2 y \left(y^{2} + 1\right)}\right)\, dy = - \int \frac{1}{2 y \left(y^{2} + 1\right)}\, dy

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        12y(y2+1)=−y2(y2+1)+12y\frac{1}{2 y \left(y^{2} + 1\right)} = - \frac{y}{2 \left(y^{2} + 1\right)} + \frac{1}{2 y}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−y2(y2+1)) dy=−∫yy2+1 dy2\int \left(- \frac{y}{2 \left(y^{2} + 1\right)}\right)\, dy = - \frac{\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫yy2+1 dy=∫2yy2+1 dy2\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy = \frac{\int \frac{2 y}{y^{2} + 1}\, dy}{2}

            1. que u=y2+1u = y^{2} + 1.

              Luego que du=2ydydu = 2 y dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(y2+1)\log{\left(y^{2} + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(y2+1)2\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(y2+1)4- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12y dy=∫1y dy2\int \frac{1}{2 y}\, dy = \frac{\int \frac{1}{y}\, dy}{2}

          1. Integral 1y\frac{1}{y} es log⁡(y)\log{\left(y \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(y)2\frac{\log{\left(y \right)}}{2}

        El resultado es: log⁡(y)2−log⁡(y2+1)4\frac{\log{\left(y \right)}}{2} - \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        12y(y2+1)=12y3+2y\frac{1}{2 y \left(y^{2} + 1\right)} = \frac{1}{2 y^{3} + 2 y}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        12y3+2y=−y2(y2+1)+12y\frac{1}{2 y^{3} + 2 y} = - \frac{y}{2 \left(y^{2} + 1\right)} + \frac{1}{2 y}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−y2(y2+1)) dy=−∫yy2+1 dy2\int \left(- \frac{y}{2 \left(y^{2} + 1\right)}\right)\, dy = - \frac{\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫yy2+1 dy=∫2yy2+1 dy2\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy = \frac{\int \frac{2 y}{y^{2} + 1}\, dy}{2}

            1. que u=y2+1u = y^{2} + 1.

              Luego que du=2ydydu = 2 y dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(y2+1)\log{\left(y^{2} + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(y2+1)2\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(y2+1)4- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12y dy=∫1y dy2\int \frac{1}{2 y}\, dy = \frac{\int \frac{1}{y}\, dy}{2}

          1. Integral 1y\frac{1}{y} es log⁡(y)\log{\left(y \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(y)2\frac{\log{\left(y \right)}}{2}

        El resultado es: log⁡(y)2−log⁡(y2+1)4\frac{\log{\left(y \right)}}{2} - \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        12y(y2+1)=12y3+2y\frac{1}{2 y \left(y^{2} + 1\right)} = \frac{1}{2 y^{3} + 2 y}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        12y3+2y=−y2(y2+1)+12y\frac{1}{2 y^{3} + 2 y} = - \frac{y}{2 \left(y^{2} + 1\right)} + \frac{1}{2 y}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−y2(y2+1)) dy=−∫yy2+1 dy2\int \left(- \frac{y}{2 \left(y^{2} + 1\right)}\right)\, dy = - \frac{\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫yy2+1 dy=∫2yy2+1 dy2\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy = \frac{\int \frac{2 y}{y^{2} + 1}\, dy}{2}

            1. que u=y2+1u = y^{2} + 1.

              Luego que du=2ydydu = 2 y dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(y2+1)\log{\left(y^{2} + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(y2+1)2\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(y2+1)4- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12y dy=∫1y dy2\int \frac{1}{2 y}\, dy = \frac{\int \frac{1}{y}\, dy}{2}

          1. Integral 1y\frac{1}{y} es log⁡(y)\log{\left(y \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(y)2\frac{\log{\left(y \right)}}{2}

        El resultado es: log⁡(y)2−log⁡(y2+1)4\frac{\log{\left(y \right)}}{2} - \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}

    Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(y)2+log⁡(y2+1)4- \frac{\log{\left(y \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(y)2+log⁡(y2+1)4+constant- \frac{\log{\left(y \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(y)2+log⁡(y2+1)4+constant- \frac{\log{\left(y \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                                   /     2\
 |     -1                log(y)   log\1 + y /
 | ------------ dy = C - ------ + -----------
 |     /     2\            2           4     
 | 2*y*\1 + y /                              
 |                                           
/
∫(−12y(y2+1)) dy=C−log⁡(y)2+log⁡(y2+1)4\int \left(- \frac{1}{2 y \left(y^{2} + 1\right)}\right)\, dy = C - \frac{\log{\left(y \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-50005000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-21.8719362718565
-21.8719362718565

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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