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Resolución de integrales/ (2/x)/ ((1-cos)(2/x))

Integral de ((1-cos)(2/x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                  
  /                  
 |                   
 |               2   
 |  (1 - cos(x))*- dx
 |               x   
 |                   
/                    
1
∫1∞2x(1−cos⁡(x)) dx\int\limits_{1}^{\infty} \frac{2}{x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral((1 - cos(x))*(2/x), (x, 1, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos dudu:

      ∫2cos⁡(1u)−2u du\int \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 2}{u}\, du

      1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

        Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−2cos⁡(u)−2u) du\int \left(- \frac{2 \cos{\left(u \right)} - 2}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2cos⁡(u)−2u du=−∫2cos⁡(u)−2u du\int \frac{2 \cos{\left(u \right)} - 2}{u}\, du = - \int \frac{2 \cos{\left(u \right)} - 2}{u}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            2cos⁡(u)−2u=2cos⁡(u)u−2u\frac{2 \cos{\left(u \right)} - 2}{u} = \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{u} - \frac{2}{u}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2cos⁡(u)u du=2∫cos⁡(u)u du\int \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{u}\, du = 2 \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du

                CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

              Por lo tanto, el resultado es: 2Ci⁡(u)2 \operatorname{Ci}{\left(u \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2u) du=−2∫1u du\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(u)- 2 \log{\left(u \right)}

            El resultado es: −2log⁡(u)+2Ci⁡(u)- 2 \log{\left(u \right)} + 2 \operatorname{Ci}{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u)−2Ci⁡(u)2 \log{\left(u \right)} - 2 \operatorname{Ci}{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2log⁡(u)−2Ci⁡(1u)- 2 \log{\left(u \right)} - 2 \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2log⁡(x)−2Ci⁡(x)2 \log{\left(x \right)} - 2 \operatorname{Ci}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x(1−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)−2x\frac{2}{x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = - \frac{2 \cos{\left(x \right)} - 2}{x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2cos⁡(x)−2x) dx=−∫2cos⁡(x)−2x dx\int \left(- \frac{2 \cos{\left(x \right)} - 2}{x}\right)\, dx = - \int \frac{2 \cos{\left(x \right)} - 2}{x}\, dx

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−2cos⁡(1u)−2u) du\int \left(- \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 2}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2cos⁡(1u)−2u du=−∫2cos⁡(1u)−2u du\int \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 2}{u}\, du = - \int \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 2}{u}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            2cos⁡(1u)−2u=2cos⁡(1u)u−2u\frac{2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 2}{u} = \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} - \frac{2}{u}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2cos⁡(1u)u du=2∫cos⁡(1u)u du\int \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = 2 \int \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

              1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

                Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

                ∫(−cos⁡(u)u) du\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u)u du=−∫cos⁡(u)u du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du

                    CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

                  Por lo tanto, el resultado es: −Ci⁡(u)- \operatorname{Ci}{\left(u \right)}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −Ci⁡(1u)- \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2Ci⁡(1u)- 2 \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2u) du=−2∫1u du\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(u)- 2 \log{\left(u \right)}

            El resultado es: −2log⁡(u)−2Ci⁡(1u)- 2 \log{\left(u \right)} - 2 \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u)+2Ci⁡(1u)2 \log{\left(u \right)} + 2 \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2log⁡(x)+2Ci⁡(x)- 2 \log{\left(x \right)} + 2 \operatorname{Ci}{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x)−2Ci⁡(x)2 \log{\left(x \right)} - 2 \operatorname{Ci}{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x(1−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)x+2x\frac{2}{x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(x)x) dx=−2∫cos⁡(x)x dx\int \left(- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\, dx

          CiRule(a=1, b=0, context=cos(x)/x, symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: −2Ci⁡(x)- 2 \operatorname{Ci}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x dx=2∫1x dx\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x)2 \log{\left(x \right)}

      El resultado es: 2log⁡(x)−2Ci⁡(x)2 \log{\left(x \right)} - 2 \operatorname{Ci}{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2log⁡(x)−2Ci⁡(x)+constant2 \log{\left(x \right)} - 2 \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2log⁡(x)−2Ci⁡(x)+constant2 \log{\left(x \right)} - 2 \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                                           
 |              2                            
 | (1 - cos(x))*- dx = C - 2*Ci(x) + 2*log(x)
 |              x                            
 |                                           
/
∫2x(1−cos⁡(x)) dx=C+2log⁡(x)−2Ci⁡(x)\int \frac{2}{x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = C + 2 \log{\left(x \right)} - 2 \operatorname{Ci}{\left(x \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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