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Resolución de integrales/ x^2+4/ log(x^2+4)/x^2

Integral de log(x^2+4)/x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  + 4/   
 |  ----------- dx
 |        2       
 |       x        
 |                
/                 
1
∫1∞log⁡(x2+4)x2 dx\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{x^{2}}\, dx 
Integral(log(x^2 + 4)/x^2, (x, 1, oo))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(x2+4)u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 4 \right)} y que dv⁡(x)=1x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}.

    Entonces du⁡(x)=2xx2+4\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 4}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−2x2+4) dx=−2∫1x2+4 dx\int \left(- \frac{2}{x^{2} + 4}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 4), symbol=x)

    Por lo tanto, el resultado es: −atan⁡(x2)- \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}

  3. Ahora simplificar:

    atan⁡(x2)−log⁡(x2+4)x\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{x}

  4. Añadimos la constante de integración:

    atan⁡(x2)−log⁡(x2+4)x+constant\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

atan⁡(x2)−log⁡(x2+4)x+constant\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                                           
 |    / 2    \             / 2    \          
 | log\x  + 4/          log\x  + 4/       /x\
 | ----------- dx = C - ----------- + atan|-|
 |       2                   x            \2/
 |      x                                    
 |                                           
/
∫log⁡(x2+4)x2 dx=C+atan⁡(x2)−log⁡(x2+4)x\int \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{x^{2}}\, dx = C + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{x}
Simplificar
Gráfica
1.00001.01001.00101.00201.00301.00401.00501.00601.00701.00801.00905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
pi                     
-- - atan(1/2) + log(5)
2
−atan⁡(12)+π2+log⁡(5)- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{\pi}{2} + \log{\left(5 \right)} 
=
= 
pi                     
-- - atan(1/2) + log(5)
2
−atan⁡(12)+π2+log⁡(5)- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{\pi}{2} + \log{\left(5 \right)} 
pi/2 - atan(1/2) + log(5)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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