Integral de log(4x)/log2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\log{\left(4 x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int \log{\left(4 x \right)}\, dx}{\log{\left(2 \right)}}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 4 x$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{4} - \frac{u}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \log{\left(4 x \right)} - x$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \log{\left(4 x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(\log{\left(4 x \right)} - 1\right)}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(\log{\left(4 x \right)} - 1\right)}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(\log{\left(4 x \right)} - 1\right)}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$