Integral de log(1+x)/sqrt(1+x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x + 1 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x + 1}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{\frac{u}{2}}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = \frac{u}{2}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{u}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 \int e^{\frac{u}{2}}\, du$

         1. que $u = \frac{u}{2}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{u}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{u}{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x + 1} \log{\left(x + 1 \right)} - 4 \sqrt{x + 1}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = x + 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{x + 1}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2}{\sqrt{x + 1}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\, dx$

      1. que $u = x + 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{x + 1}$

      Por lo tanto, el resultado es: $4 \sqrt{x + 1}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x + 1} \left(\log{\left(x + 1 \right)} - 2\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x + 1} \left(\log{\left(x + 1 \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x + 1} \left(\log{\left(x + 1 \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$