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Resolución de integrales/ (x-7)/ (x-7)sin*7x*

Integral de (x-7)sin*7x* dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |  (x - 7)*sin(7*x) dx
 |                     
/                      
0
∫01(x−7)sin⁡(7x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x - 7\right) \sin{\left(7 x \right)}\, dx 
Integral((x - 7)*sin(7*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−7)sin⁡(7x)=xsin⁡(7x)−7sin⁡(7x)\left(x - 7\right) \sin{\left(7 x \right)} = x \sin{\left(7 x \right)} - 7 \sin{\left(7 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(7x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(7x)7) dx=−∫cos⁡(7x) dx7\int \left(- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(7 x \right)}\, dx}{7}

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(7x)49- \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7sin⁡(7x)) dx=−7∫sin⁡(7x) dx\int \left(- 7 \sin{\left(7 x \right)}\right)\, dx = - 7 \int \sin{\left(7 x \right)}\, dx

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(7x)\cos{\left(7 x \right)}

      El resultado es: −xcos⁡(7x)7+sin⁡(7x)49+cos⁡(7x)- \frac{x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49} + \cos{\left(7 x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x−7u{\left(x \right)} = x - 7 y que dv⁡(x)=sin⁡(7x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=7xu = 7 x.

        Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

        ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(7x)7) dx=−∫cos⁡(7x) dx7\int \left(- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(7 x \right)}\, dx}{7}

      1. que u=7xu = 7 x.

        Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

        ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(7x)49- \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−7)sin⁡(7x)=xsin⁡(7x)−7sin⁡(7x)\left(x - 7\right) \sin{\left(7 x \right)} = x \sin{\left(7 x \right)} - 7 \sin{\left(7 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(7x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(7x)7) dx=−∫cos⁡(7x) dx7\int \left(- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(7 x \right)}\, dx}{7}

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(7x)7\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(7x)49- \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7sin⁡(7x)) dx=−7∫sin⁡(7x) dx\int \left(- 7 \sin{\left(7 x \right)}\right)\, dx = - 7 \int \sin{\left(7 x \right)}\, dx

        1. que u=7xu = 7 x.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(7x)7- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(7x)\cos{\left(7 x \right)}

      El resultado es: −xcos⁡(7x)7+sin⁡(7x)49+cos⁡(7x)- \frac{x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49} + \cos{\left(7 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(7x)7+sin⁡(7x)49+cos⁡(7x)+constant- \frac{x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49} + \cos{\left(7 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(7x)7+sin⁡(7x)49+cos⁡(7x)+constant- \frac{x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49} + \cos{\left(7 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                           sin(7*x)   x*cos(7*x)           
 | (x - 7)*sin(7*x) dx = C + -------- - ---------- + cos(7*x)
 |                              49          7                
/
∫(x−7)sin⁡(7x) dx=C−xcos⁡(7x)7+sin⁡(7x)49+cos⁡(7x)\int \left(x - 7\right) \sin{\left(7 x \right)}\, dx = C - \frac{x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49} + \cos{\left(7 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     sin(7)   6*cos(7)
-1 + ------ + --------
       49        7
−1+sin⁡(7)49+6cos⁡(7)7-1 + \frac{\sin{\left(7 \right)}}{49} + \frac{6 \cos{\left(7 \right)}}{7} 
=
= 
     sin(7)   6*cos(7)
-1 + ------ + --------
       49        7
−1+sin⁡(7)49+6cos⁡(7)7-1 + \frac{\sin{\left(7 \right)}}{49} + \frac{6 \cos{\left(7 \right)}}{7} 
-1 + sin(7)/49 + 6*cos(7)/7
Respuesta numérica [src] 
-0.340390177935968
-0.340390177935968

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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