Integral de e^xdx/(2e^x+5)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{8 u^{3} + 60 u^{2} + 150 u + 125}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{8 u^{3} + 60 u^{2} + 150 u + 125} = \frac{1}{\left(2 u + 5\right)^{3}}$

      2. que $u = 2 u + 5$.

         Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u^{3}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{3}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(2 u + 5\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \left(2 e^{x} + 5\right)^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{\left(2 e^{x} + 5\right)^{3}} = \frac{e^{x}}{8 e^{3 x} + 60 e^{2 x} + 150 e^{x} + 125}$

   2. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{8 u^{3} + 60 u^{2} + 150 u + 125}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{8 u^{3} + 60 u^{2} + 150 u + 125} = \frac{1}{\left(2 u + 5\right)^{3}}$

      2. que $u = 2 u + 5$.

         Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u^{3}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{3}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(2 u + 5\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \left(2 e^{x} + 5\right)^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{\left(2 e^{x} + 5\right)^{3}} = \frac{e^{x}}{8 e^{3 x} + 60 e^{2 x} + 150 e^{x} + 125}$

   2. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{8 u^{3} + 60 u^{2} + 150 u + 125}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{8 u^{3} + 60 u^{2} + 150 u + 125} = \frac{1}{\left(2 u + 5\right)^{3}}$

      2. que $u = 2 u + 5$.

         Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u^{3}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{3}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(2 u + 5\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \left(2 e^{x} + 5\right)^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{4 \left(2 e^{x} + 5\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{4 \left(2 e^{x} + 5\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$