Integral de (1+x)ln(1+x) dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |  (1 + x)*log(1 + x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}\, dx$$

Integral((1 + x)*log(1 + x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = x + 1$ .
  
  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int u \log{\left(u \right)}\, du$
  1. que $u = \log{\left(u \right)}$ .
    
    Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u e^{2 u}\, du$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} = x \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx}{2}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$
    2. Integramos término a término:
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$
      
      que $u = x + 1$ .
      
      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
    Método #1
    
    que $u = x + 1$ .
    
    Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \log{\left(u \right)}\, du$
    
    Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$ .
    
    Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
    
    La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int 1\, du = u$
    
    Ahora resolvemos podintegral.
    
    La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int 1\, du = u$
    
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - 1$
    Método #2
    
    Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    
    La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int 1\, dx = x$
    
    Ahora resolvemos podintegral.
    
    Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$
    
    Integramos término a término:
    
    La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int 1\, dx = x$
    
    La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$
    
    que $u = x + 1$ .
    
    Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    
    Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\log{\left(x + 1 \right)}$
    
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 1 \right)}$
    
    El resultado es: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$
  El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 1$
Método #3
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x + 1$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. Integramos término a término:
    1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
    El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + x$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\frac{x^{2}}{2} + x}{x + 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}$
3. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$
    1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
    1. que $u = x + 1$ .
      
      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
Método #4
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} = x \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx}{2}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$
    2. Integramos término a término:
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$
      
      que $u = x + 1$ .
      
      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  1. que $u = x + 1$ .
    
    Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \log{\left(u \right)}\, du$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - 1$
  El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 1$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(x + 1 \right)} - 1\right)}{4}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(x + 1 \right)} - 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(x + 1 \right)} - 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                   2          2           
 |                             (1 + x)    (1 + x) *log(1 + x)
 | (1 + x)*log(1 + x) dx = C - -------- + -------------------
 |                                4                2         
/

$$\int \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}\, dx = C + \frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

-3/4 + 2*log(2)

$$- \frac{3}{4} + 2 \log{\left(2 \right)}$$

-3/4 + 2*log(2)

$$- \frac{3}{4} + 2 \log{\left(2 \right)}$$

-3/4 + 2*log(2)

Respuesta numérica [src]

0.636294361119891

0.636294361119891

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (1+x)ln(1+x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #1

Método #2

Método #3

Método #4