Integral de x*ctg((3x^2)+1) dx

1. que $u = 3 x^{2} + 1$.

   Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

   $\int \frac{\cot{\left(u \right)}}{6}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \cot{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cot{\left(u \right)}\, du}{6}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cot{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}$

      2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{6}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x^{2} + 1 \right)} \right)}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x^{2} + 1 \right)} \right)}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x^{2} + 1 \right)} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x^{2} + 1 \right)} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$