Integral de (sin2x)/(1+cosx) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u}{u + 1}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u + 1}\, du = - \int \frac{u}{u + 1}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

                  1. que $u = u + 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

               El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u + \log{\left(u + 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u}{u + 1}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u + 1}\, du = - \int \frac{u}{u + 1}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

                  1. que $u = u + 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

               El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u + \log{\left(u + 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$