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Resolución de integrales/ 1+cosx/ sin^2/ (x+sin^2x)/(1+cosx)

Integral de (x+sin^2x)/(1+cosx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi               
 --               
 2                
  /               
 |                
 |         2      
 |  x + sin (x)   
 |  ----------- dx
 |   1 + cos(x)   
 |                
/                 
0
∫0π2x+sin⁡2(x)cos⁡(x)+1 dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx 
Integral((x + sin(x)^2)/(1 + cos(x)), (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x+sin⁡2(x)cos⁡(x)+1=xcos⁡(x)+1+sin⁡2(x)cos⁡(x)+1\frac{x + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = \frac{x}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}

  2. Integramos término a término:

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      xtan⁡(x2)−log⁡(tan⁡2(x2)+1)x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      xtan⁡2(x2)tan⁡2(x2)+1+xtan⁡2(x2)+1−2tan⁡(x2)tan⁡2(x2)+1\frac{x \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \frac{x}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} - \frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}

    El resultado es: xtan⁡(x2)+xtan⁡2(x2)tan⁡2(x2)+1+xtan⁡2(x2)+1−log⁡(tan⁡2(x2)+1)−2tan⁡(x2)tan⁡2(x2)+1x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{x \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \frac{x}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} - \log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}

  3. Ahora simplificar:

    xtan⁡(x2)+x−log⁡(1cos⁡(x)+1)−sin⁡(x)−log⁡(2)x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + x - \log{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1} \right)} - \sin{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    xtan⁡(x2)+x−log⁡(1cos⁡(x)+1)−sin⁡(x)−log⁡(2)+constantx \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + x - \log{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1} \right)} - \sin{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xtan⁡(x2)+x−log⁡(1cos⁡(x)+1)−sin⁡(x)−log⁡(2)+constantx \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + x - \log{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1} \right)} - \sin{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                          
 |                                                                         /x\          2/x\ 
 |        2                                                           2*tan|-|     x*tan |-| 
 | x + sin (x)             /       2/x\\        x             /x\          \2/           \2/ 
 | ----------- dx = C - log|1 + tan |-|| + ----------- + x*tan|-| - ----------- + -----------
 |  1 + cos(x)             \        \2//          2/x\        \2/          2/x\          2/x\
 |                                         1 + tan |-|              1 + tan |-|   1 + tan |-|
/                                                  \2/                      \2/           \2/
∫x+sin⁡2(x)cos⁡(x)+1 dx=C+xtan⁡(x2)+xtan⁡2(x2)tan⁡2(x2)+1+xtan⁡2(x2)+1−log⁡(tan⁡2(x2)+1)−2tan⁡(x2)tan⁡2(x2)+1\int \frac{x + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = C + x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{x \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} + \frac{x}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1} - \log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)} - \frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}
Simplificar
Respuesta [src] 
-1 + pi - log(2)
−1−log⁡(2)+π-1 - \log{\left(2 \right)} + \pi 
=
= 
-1 + pi - log(2)
−1−log⁡(2)+π-1 - \log{\left(2 \right)} + \pi 
-1 + pi - log(2)
Respuesta numérica [src] 
1.44844547302985
1.44844547302985

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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