Integral de sin^6x dx
Solución
Solución detallada
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Vuelva a escribir el integrando:
sin6(x)=(21−2cos(2x))3
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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Vuelva a escribir el integrando:
(21−2cos(2x))3=−8cos3(2x)+83cos2(2x)−83cos(2x)+81
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−8cos3(2x))dx=−8∫cos3(2x)dx
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Vuelva a escribir el integrando:
cos3(2x)=(1−sin2(2x))cos(2x)
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos du:
∫(21−2u2)du
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Integramos término a término:
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2u2)du=−2∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −6u3
El resultado es: −6u3+2u
Si ahora sustituir u más en:
−6sin3(2x)+2sin(2x)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
(1−sin2(2x))cos(2x)=−sin2(2x)cos(2x)+cos(2x)
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−sin2(2x)cos(2x))dx=−∫sin2(2x)cos(2x)dx
-
que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos 2du:
∫2u2du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2du=2∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: 6u3
Si ahora sustituir u más en:
6sin3(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −6sin3(2x)
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
El resultado es: −6sin3(2x)+2sin(2x)
Método #3
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Vuelva a escribir el integrando:
(1−sin2(2x))cos(2x)=−sin2(2x)cos(2x)+cos(2x)
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−sin2(2x)cos(2x))dx=−∫sin2(2x)cos(2x)dx
-
que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos 2du:
∫2u2du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2du=2∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: 6u3
Si ahora sustituir u más en:
6sin3(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −6sin3(2x)
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
El resultado es: −6sin3(2x)+2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 48sin3(2x)−16sin(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫83cos2(2x)dx=83∫cos2(2x)dx
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Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2x)=2cos(4x)+21
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4x)dx=2∫cos(4x)dx
-
que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4x)
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+8sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 163x+643sin(4x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−83cos(2x))dx=−83∫cos(2x)dx
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −163sin(2x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫81dx=8x
El resultado es: 165x+48sin3(2x)−4sin(2x)+643sin(4x)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
(21−2cos(2x))3=−8cos3(2x)+83cos2(2x)−83cos(2x)+81
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−8cos3(2x))dx=−8∫cos3(2x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos3(2x)=(1−sin2(2x))cos(2x)
-
que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos du:
∫(21−2u2)du
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Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2u2)du=−2∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −6u3
El resultado es: −6u3+2u
Si ahora sustituir u más en:
−6sin3(2x)+2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 48sin3(2x)−16sin(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫83cos2(2x)dx=83∫cos2(2x)dx
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Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2x)=2cos(4x)+21
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4x)dx=2∫cos(4x)dx
-
que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4x)
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+8sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 163x+643sin(4x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−83cos(2x))dx=−83∫cos(2x)dx
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −163sin(2x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫81dx=8x
El resultado es: 165x+48sin3(2x)−4sin(2x)+643sin(4x)
-
Ahora simplificar:
165x−6415sin(2x)+643sin(4x)−192sin(6x)
-
Añadimos la constante de integración:
165x−6415sin(2x)+643sin(4x)−192sin(6x)+constant
Respuesta:
165x−6415sin(2x)+643sin(4x)−192sin(6x)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| 3
| 6 sin(2*x) sin (2*x) 3*sin(4*x) 5*x
| sin (x) dx = C - -------- + --------- + ---------- + ---
| 4 48 64 16
/
∫sin6(x)dx=C+165x+48sin3(2x)−4sin(2x)+643sin(4x)
Gráfica
3 5
5 5*cos(1)*sin(1) 5*sin (1)*cos(1) sin (1)*cos(1)
-- - --------------- - ---------------- - --------------
16 16 24 6
−165sin(1)cos(1)−245sin3(1)cos(1)−6sin5(1)cos(1)+165
=
3 5
5 5*cos(1)*sin(1) 5*sin (1)*cos(1) sin (1)*cos(1)
-- - --------------- - ---------------- - --------------
16 16 24 6
−165sin(1)cos(1)−245sin3(1)cos(1)−6sin5(1)cos(1)+165
5/16 - 5*cos(1)*sin(1)/16 - 5*sin(1)^3*cos(1)/24 - sin(1)^5*cos(1)/6
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.