Integral de x^2*3^(4*x^3+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x^{3} + 1$.

      Luego que $du = 12 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$:

      $\int \frac{3^{u}}{12}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{12}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3^{4 x^{3} + 1}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3^{4 x^{3} + 1} x^{2} = 3 \cdot 3^{4 x^{3}} x^{2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \cdot 3^{4 x^{3}} x^{2}\, dx = 3 \int 3^{4 x^{3}} x^{2}\, dx$

      1. que $u = 4 x^{3}$.

         Luego que $du = 12 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$:

         $\int \frac{3^{u}}{12}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{12}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3^{4 x^{3}}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{4 x^{3}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3^{4 x^{3} + 1} x^{2} = 3 \cdot 3^{4 x^{3}} x^{2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \cdot 3^{4 x^{3}} x^{2}\, dx = 3 \int 3^{4 x^{3}} x^{2}\, dx$

      1. que $u = 4 x^{3}$.

         Luego que $du = 12 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$:

         $\int \frac{3^{u}}{12}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{12}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3^{4 x^{3}}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{4 x^{3}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{81^{x^{3}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{81^{x^{3}}}{4 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{81^{x^{3}}}{4 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$