Integral de 1/sin^4x dx

Solución

Ha introducido [src]

   ___          
 \/ 2           
 -----          
   2            
   /            
  |             
  |      1      
  |   ------- dx
  |      4      
  |   sin (x)   
  |             
 /              
 1

$$\int\limits_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\, dx$$

Integral(1/(sin(x)^4), (x, 1, sqrt(2)/2))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\csc^{4}{\left(x \right)} = \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \cot{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(- u^{2} - 1\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-1\right)\, du = - u$
    El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} - u$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cot{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$
  El resultado es: $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cot{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$
  El resultado es: $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                 
 |                              3   
 |    1                      cot (x)
 | ------- dx = C - cot(x) - -------
 |    4                         3   
 | sin (x)                          
 |                                  
/

$$\int \frac{1}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

       /  ___\        /  ___\                        
       |\/ 2 |        |\/ 2 |                        
  2*cos|-----|     cos|-----|                        
       \  2  /        \  2  /      cos(1)    2*cos(1)
- ------------ - ------------- + --------- + --------
       /  ___\         /  ___\        3      3*sin(1)
       |\/ 2 |        3|\/ 2 |   3*sin (1)           
  3*sin|-----|   3*sin |-----|                       
       \  2  /         \  2  /

$$- \frac{\cos{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{3 \sin^{3}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}} - \frac{2 \cos{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{3 \sin{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}} + \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3 \sin^{3}{\left(1 \right)}} + \frac{2 \cos{\left(1 \right)}}{3 \sin{\left(1 \right)}}$$

       /  ___\        /  ___\                        
       |\/ 2 |        |\/ 2 |                        
  2*cos|-----|     cos|-----|                        
       \  2  /        \  2  /      cos(1)    2*cos(1)
- ------------ - ------------- + --------- + --------
       /  ___\         /  ___\        3      3*sin(1)
       |\/ 2 |        3|\/ 2 |   3*sin (1)           
  3*sin|-----|   3*sin |-----|                       
       \  2  /         \  2  /

-2*cos(sqrt(2)/2)/(3*sin(sqrt(2)/2)) - cos(sqrt(2)/2)/(3*sin(sqrt(2)/2)^3) + cos(1)/(3*sin(1)^3) + 2*cos(1)/(3*sin(1))

Respuesta numérica [src]

-0.974154827019863

-0.974154827019863

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de 1/sin^4x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3