Integral de (sqrt(1-x^2))(x-x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{3} + x\right) = - x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} + x \sqrt{1 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=-_u**2, symbol=_u)], context=_u**4 - _u**2, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**3*sqrt(1 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

      1. que $u = 1 - x^{2}$.

         Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \begin{cases} \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{1 - x^{2}} \left(- x^{3} + x\right) = - x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} + x \sqrt{1 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=-_u**2, symbol=_u)], context=_u**4 - _u**2, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x**3*sqrt(1 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

      1. que $u = 1 - x^{2}$.

         Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \begin{cases} \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$