Sr Examen

Otras calculadoras

Integral de tg^5(x)/cos^5(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  tan (x)   
 |  ------- dx
 |     5      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0             
01tan5(x)cos5(x)dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}\, dx
Integral(tan(x)^5/cos(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan5(x)sec5(x)=(sec2(x)1)2tan(x)sec5(x)\tan^{5}{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

      Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      (u82u6+u4)du\int \left(u^{8} - 2 u^{6} + u^{4}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u8du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2u6)du=2u6du\int \left(- 2 u^{6}\right)\, du = - 2 \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u77- \frac{2 u^{7}}{7}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        El resultado es: u992u77+u55\frac{u^{9}}{9} - \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sec9(x)92sec7(x)7+sec5(x)5\frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec2(x)1)2tan(x)sec5(x)=tan(x)sec9(x)2tan(x)sec7(x)+tan(x)sec5(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{9}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u8du\int u^{8}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u8du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec9(x)9\frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2tan(x)sec7(x))dx=2tan(x)sec7(x)dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u6du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec7(x)7\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sec7(x)7- \frac{2 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u4du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec5(x)5\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: sec9(x)92sec7(x)7+sec5(x)5\frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec2(x)1)2tan(x)sec5(x)=tan(x)sec9(x)2tan(x)sec7(x)+tan(x)sec5(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{9}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u8du\int u^{8}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u8du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec9(x)9\frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2tan(x)sec7(x))dx=2tan(x)sec7(x)dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u6du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec7(x)7\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sec7(x)7- \frac{2 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u4du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec5(x)5\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: sec9(x)92sec7(x)7+sec5(x)5\frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

  3. Ahora simplificar:

    (35sec4(x)90sec2(x)+63)sec5(x)315\frac{\left(35 \sec^{4}{\left(x \right)} - 90 \sec^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sec^{5}{\left(x \right)}}{315}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (35sec4(x)90sec2(x)+63)sec5(x)315+constant\frac{\left(35 \sec^{4}{\left(x \right)} - 90 \sec^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sec^{5}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

(35sec4(x)90sec2(x)+63)sec5(x)315+constant\frac{\left(35 \sec^{4}{\left(x \right)} - 90 \sec^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sec^{5}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                              
 |                                               
 |    5                  7         5         9   
 | tan (x)          2*sec (x)   sec (x)   sec (x)
 | ------- dx = C - --------- + ------- + -------
 |    5                 7          5         9   
 | cos (x)                                       
 |                                               
/                                                
tan5(x)cos5(x)dx=C+sec9(x)92sec7(x)7+sec5(x)5\int \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900400
Respuesta [src]
                   2            4   
   8    35 - 90*cos (1) + 63*cos (1)
- --- + ----------------------------
  315                  9            
                315*cos (1)         
8315+90cos2(1)+63cos4(1)+35315cos9(1)- \frac{8}{315} + \frac{- 90 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 63 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 35}{315 \cos^{9}{\left(1 \right)}}
=
=
                   2            4   
   8    35 - 90*cos (1) + 63*cos (1)
- --- + ----------------------------
  315                  9            
                315*cos (1)         
8315+90cos2(1)+63cos4(1)+35315cos9(1)- \frac{8}{315} + \frac{- 90 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 63 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 35}{315 \cos^{9}{\left(1 \right)}}
-8/315 + (35 - 90*cos(1)^2 + 63*cos(1)^4)/(315*cos(1)^9)
Respuesta numérica [src]
11.3781444268107
11.3781444268107

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.