Integral de sqrt(6-2x^2)-(x^2+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{6 - 2 x^{2}} = \sqrt{2} \sqrt{3 - x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sqrt{2} \sqrt{3 - x^{2}}\, dx = \sqrt{2} \int \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=3*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=3, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(3)) & (x > -sqrt(3)), context=sqrt(3 - x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{3 - x^{2}}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}\right)$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} - x$

   El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} - x + \sqrt{2} \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{3 - x^{2}}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} - \frac{x^{3}}{3} - x + \frac{\sqrt{2} \left(x \sqrt{3 - x^{2}} + 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right)}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} - \frac{x^{3}}{3} - x + \frac{\sqrt{2} \left(x \sqrt{3 - x^{2}} + 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right)}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} - \frac{x^{3}}{3} - x + \frac{\sqrt{2} \left(x \sqrt{3 - x^{2}} + 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right)}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$