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Resolución de integrales/ (3x)/(1+(5x+1)^(1/2))

Integral de (3x)/(1+(5x+1)^(1/2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  7                   
  /                   
 |                    
 |        3*x         
 |  --------------- dx
 |        _________   
 |  1 + \/ 5*x + 1    
 |                    
/                     
0
∫073x5x+1+1 dx\int\limits_{0}^{7} \frac{3 x}{\sqrt{5 x + 1} + 1}\, dx 
Integral((3*x)/(1 + sqrt(5*x + 1)), (x, 0, 7))
Solución detallada

  1. que u=5x+1u = \sqrt{5 x + 1}.

    Luego que du=5dx25x+1du = \frac{5 dx}{2 \sqrt{5 x + 1}} y ponemos 6du6 du:

    ∫6u(u25−15)5u+5 du\int \frac{6 u \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right)}{5 u + 5}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u(u25−15)5u+5 du=6∫u(u25−15)5u+5 du\int \frac{u \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right)}{5 u + 5}\, du = 6 \int \frac{u \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right)}{5 u + 5}\, du

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u(u25−15)5u+5=u225−u25\frac{u \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right)}{5 u + 5} = \frac{u^{2}}{25} - \frac{u}{25}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u225 du=∫u2 du25\int \frac{u^{2}}{25}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{25}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u375\frac{u^{3}}{75}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u25) du=−∫u du25\int \left(- \frac{u}{25}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{25}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u250- \frac{u^{2}}{50}

          El resultado es: u375−u250\frac{u^{3}}{75} - \frac{u^{2}}{50}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u(u25−15)5u+5=u35(5u+5)−u5(5u+5)\frac{u \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right)}{5 u + 5} = \frac{u^{3}}{5 \left(5 u + 5\right)} - \frac{u}{5 \left(5 u + 5\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u35(5u+5) du=∫u35u+5 du5\int \frac{u^{3}}{5 \left(5 u + 5\right)}\, du = \frac{\int \frac{u^{3}}{5 u + 5}\, du}{5}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u35u+5=u25−u5+15−15(u+1)\frac{u^{3}}{5 u + 5} = \frac{u^{2}}{5} - \frac{u}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5 \left(u + 1\right)}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u25 du=∫u2 du5\int \frac{u^{2}}{5}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{5}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: u315\frac{u^{3}}{15}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u5) du=−∫u du5\int \left(- \frac{u}{5}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{5}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u210- \frac{u^{2}}{10}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫15 du=u5\int \frac{1}{5}\, du = \frac{u}{5}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−15(u+1)) du=−∫1u+1 du5\int \left(- \frac{1}{5 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{5}

                1. que u=u+1u = u + 1.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)5- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{5}

              El resultado es: u315−u210+u5−log⁡(u+1)5\frac{u^{3}}{15} - \frac{u^{2}}{10} + \frac{u}{5} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: u375−u250+u25−log⁡(u+1)25\frac{u^{3}}{75} - \frac{u^{2}}{50} + \frac{u}{25} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{25}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u5(5u+5)) du=−∫u5u+5 du5\int \left(- \frac{u}{5 \left(5 u + 5\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{u}{5 u + 5}\, du}{5}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u5u+5=15−15(u+1)\frac{u}{5 u + 5} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5 \left(u + 1\right)}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫15 du=u5\int \frac{1}{5}\, du = \frac{u}{5}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−15(u+1)) du=−∫1u+1 du5\int \left(- \frac{1}{5 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{5}

                1. que u=u+1u = u + 1.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)5- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{5}

              El resultado es: u5−log⁡(u+1)5\frac{u}{5} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u25+log⁡(u+1)25- \frac{u}{25} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{25}

          El resultado es: u375−u250\frac{u^{3}}{75} - \frac{u^{2}}{50}

      Por lo tanto, el resultado es: 2u325−3u225\frac{2 u^{3}}{25} - \frac{3 u^{2}}{25}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −3x5+2(5x+1)3225−325- \frac{3 x}{5} + \frac{2 \left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{25} - \frac{3}{25}

  2. Ahora simplificar:

    −3x5+2(5x+1)3225−325- \frac{3 x}{5} + \frac{2 \left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{25} - \frac{3}{25}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −3x5+2(5x+1)3225−325+constant- \frac{3 x}{5} + \frac{2 \left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{25} - \frac{3}{25}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−3x5+2(5x+1)3225−325+constant- \frac{3 x}{5} + \frac{2 \left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{25} - \frac{3}{25}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                                                  3/2
 |       3*x              3        3*x   2*(5*x + 1)   
 | --------------- dx = - -- + C - --- + --------------
 |       _________        25        5          25      
 | 1 + \/ 5*x + 1                                      
 |                                                     
/
∫3x5x+1+1 dx=C−3x5+2(5x+1)3225−325\int \frac{3 x}{\sqrt{5 x + 1} + 1}\, dx = C - \frac{3 x}{5} + \frac{2 \left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{25} - \frac{3}{25}
Simplificar
Gráfica
0.07.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.5020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
13
1313 
=
= 
13
1313 
13
Respuesta numérica [src] 
13.0
13.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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