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Resolución de integrales/ x^2-1/ (x^2-1)^3/x

Integral de (x^2-1)^3/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |          3   
 |  / 2    \    
 |  \x  - 1/    
 |  --------- dx
 |      x       
 |              
/               
0
∫01(x2−1)3x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}{x}\, dx 
Integral((x^2 - 1)^3/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u3−3u2+3u−12u du\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{2 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3−3u2+3u−1u du=∫u3−3u2+3u−1u du2\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u3−3u2+3u−1u=u2−3u+3−1u\frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u} = u^{2} - 3 u + 3 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3u) du=−3∫u du\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −3u22- \frac{3 u^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫3 du=3u\int 3\, du = 3 u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u33−3u22+3u−log⁡(u)\frac{u^{3}}{3} - \frac{3 u^{2}}{2} + 3 u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: u36−3u24+3u2−log⁡(u)2\frac{u^{3}}{6} - \frac{3 u^{2}}{4} + \frac{3 u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x66−3x44+3x22−log⁡(x2)2\frac{x^{6}}{6} - \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−1)3x=x5−3x3+3x−1x\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}{x} = x^{5} - 3 x^{3} + 3 x - \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3x3) dx=−3∫x3 dx\int \left(- 3 x^{3}\right)\, dx = - 3 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x44- \frac{3 x^{4}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x dx=3∫x dx\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x22\frac{3 x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x) dx=−∫1x dx\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)- \log{\left(x \right)}

      El resultado es: x66−3x44+3x22−log⁡(x)\frac{x^{6}}{6} - \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−1)3x=x6−3x4+3x2−1x\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}{x} = \frac{x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2} - 1}{x}

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u3−3u2+3u−12u du\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{2 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3−3u2+3u−1u du=∫u3−3u2+3u−1u du2\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u3−3u2+3u−1u=u2−3u+3−1u\frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u} = u^{2} - 3 u + 3 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3u) du=−3∫u du\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −3u22- \frac{3 u^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫3 du=3u\int 3\, du = 3 u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u33−3u22+3u−log⁡(u)\frac{u^{3}}{3} - \frac{3 u^{2}}{2} + 3 u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: u36−3u24+3u2−log⁡(u)2\frac{u^{3}}{6} - \frac{3 u^{2}}{4} + \frac{3 u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x66−3x44+3x22−log⁡(x2)2\frac{x^{6}}{6} - \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x66−3x44+3x22−log⁡(x2)2+constant\frac{x^{6}}{6} - \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x66−3x44+3x22−log⁡(x2)2+constant\frac{x^{6}}{6} - \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                              
 |         3                                    
 | / 2    \              4      / 2\    6      2
 | \x  - 1/           3*x    log\x /   x    3*x 
 | --------- dx = C - ---- - ------- + -- + ----
 |     x               4        2      6     2  
 |                                              
/
∫(x2−1)3x dx=C+x66−3x44+3x22−log⁡(x2)2\int \frac{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}{x}\, dx = C + \frac{x^{6}}{6} - \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2000010000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-43.1737794673262
-43.1737794673262

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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