Integral de sqrt(2x+4)-x-2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 x + 4$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sqrt{2 x + 4} = \sqrt{2} \sqrt{x + 2}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{2} \sqrt{x + 2}\, dx = \sqrt{2} \int \sqrt{x + 2}\, dx$

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \sqrt{u}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{2} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(2 x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

   El resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{\left(2 x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{2 \sqrt{2} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{2 \sqrt{2} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{2 \sqrt{2} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$