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Resolución de integrales/ 2*y^2/ x-x^2/ (y*x-x^2)dy+1/2*y^2

Integral de (y*x-x^2)dy+1/2*y^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 -4 + y                  
    /                    
   |                     
   |   /            2\   
   |   |       2   y |   
   |   |y*x - x  + --| dy
   |   \           2 /   
   |                     
  /                      
  0
∫0y−4(y22+(−x2+xy)) dy\int\limits_{0}^{y - 4} \left(\frac{y^{2}}{2} + \left(- x^{2} + x y\right)\right)\, dy 
Integral(y*x - x^2 + y^2/2, (y, 0, -4 + y))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫y22 dy=∫y2 dy2\int \frac{y^{2}}{2}\, dy = \frac{\int y^{2}\, dy}{2}

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫y2 dy=y33\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: y36\frac{y^{3}}{6}

    1. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−x2) dy=−x2y\int \left(- x^{2}\right)\, dy = - x^{2} y

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xy dy=x∫y dy\int x y\, dy = x \int y\, dy

        1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫y dy=y22\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: xy22\frac{x y^{2}}{2}

      El resultado es: −x2y+xy22- x^{2} y + \frac{x y^{2}}{2}

    El resultado es: −x2y+xy22+y36- x^{2} y + \frac{x y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{6}

  2. Ahora simplificar:

    y(−6x2+3xy+y2)6\frac{y \left(- 6 x^{2} + 3 x y + y^{2}\right)}{6}

  3. Añadimos la constante de integración:

    y(−6x2+3xy+y2)6+constant\frac{y \left(- 6 x^{2} + 3 x y + y^{2}\right)}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

y(−6x2+3xy+y2)6+constant\frac{y \left(- 6 x^{2} + 3 x y + y^{2}\right)}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                                          
 | /            2\           3      2       
 | |       2   y |          y    x*y       2
 | |y*x - x  + --| dy = C + -- + ---- - y*x 
 | \           2 /          6     2         
 |                                          
/
∫(y22+(−x2+xy)) dy=C−x2y+xy22+y36\int \left(\frac{y^{2}}{2} + \left(- x^{2} + x y\right)\right)\, dy = C - x^{2} y + \frac{x y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{6}
Simplificar
Respuesta [src] 
        3             2              
(-4 + y)    x*(-4 + y)     2         
--------- + ----------- - x *(-4 + y)
    6            2
−x2(y−4)+x(y−4)22+(y−4)36- x^{2} \left(y - 4\right) + \frac{x \left(y - 4\right)^{2}}{2} + \frac{\left(y - 4\right)^{3}}{6} 
=
= 
        3             2              
(-4 + y)    x*(-4 + y)     2         
--------- + ----------- - x *(-4 + y)
    6            2
−x2(y−4)+x(y−4)22+(y−4)36- x^{2} \left(y - 4\right) + \frac{x \left(y - 4\right)^{2}}{2} + \frac{\left(y - 4\right)^{3}}{6} 
(-4 + y)^3/6 + x*(-4 + y)^2/2 - x^2*(-4 + y)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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