Integral de 3*dx/(3-4*x)^7 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{3}{\left(3 - 4 x\right)^{7}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\left(3 - 4 x\right)^{7}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(3 - 4 x\right)^{7}} = - \frac{1}{\left(4 x - 3\right)^{7}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(4 x - 3\right)^{7}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(4 x - 3\right)^{7}}\, dx$

         1. que $u = 4 x - 3$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u^{7}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{7}}\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{24 u^{6}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{24 \left(4 x - 3\right)^{6}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{24 \left(4 x - 3\right)^{6}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(3 - 4 x\right)^{7}} = - \frac{1}{16384 x^{7} - 86016 x^{6} + 193536 x^{5} - 241920 x^{4} + 181440 x^{3} - 81648 x^{2} + 20412 x - 2187}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{16384 x^{7} - 86016 x^{6} + 193536 x^{5} - 241920 x^{4} + 181440 x^{3} - 81648 x^{2} + 20412 x - 2187}\right)\, dx = - \int \frac{1}{16384 x^{7} - 86016 x^{6} + 193536 x^{5} - 241920 x^{4} + 181440 x^{3} - 81648 x^{2} + 20412 x - 2187}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{16384 x^{7} - 86016 x^{6} + 193536 x^{5} - 241920 x^{4} + 181440 x^{3} - 81648 x^{2} + 20412 x - 2187} = \frac{1}{\left(4 x - 3\right)^{7}}$

         2. que $u = 4 x - 3$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u^{7}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{7}}\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{24 u^{6}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{24 \left(4 x - 3\right)^{6}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{24 \left(4 x - 3\right)^{6}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(3 - 4 x\right)^{7}} = \frac{1}{- 16384 x^{7} + 86016 x^{6} - 193536 x^{5} + 241920 x^{4} - 181440 x^{3} + 81648 x^{2} - 20412 x + 2187}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{- 16384 x^{7} + 86016 x^{6} - 193536 x^{5} + 241920 x^{4} - 181440 x^{3} + 81648 x^{2} - 20412 x + 2187} = - \frac{1}{\left(4 x - 3\right)^{7}}$

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(4 x - 3\right)^{7}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(4 x - 3\right)^{7}}\, dx$

         1. que $u = 4 x - 3$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u^{7}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{7}}\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{24 u^{6}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{24 \left(4 x - 3\right)^{6}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{24 \left(4 x - 3\right)^{6}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{8 \left(4 x - 3\right)^{6}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1}{8 \left(4 x - 3\right)^{6}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1}{8 \left(4 x - 3\right)^{6}}+ \mathrm{constant}$