Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ sin(2x)/ sin(x)/ sin(x)^3+0.5sin(2x)

Integral de sin(x)^3+0.5sin(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  p                        
  -                        
  2                        
  /                        
 |                         
 |  /   3      sin(2*x)\   
 |  |sin (x) + --------| dx
 |  \             2    /   
 |                         
/                          
0
∫0p2(sin⁡3(x)+sin⁡(2x)2) dx\int\limits_{0}^{\frac{p}{2}} \left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx 
Integral(sin(x)^3 + sin(2*x)/2, (x, 0, p/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡3(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(u2−1) du\int \left(u^{2} - 1\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

          El resultado es: u33−u\frac{u^{3}}{3} - u

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)3\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Método #2

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

    El resultado es: cos⁡3(x)3−cos⁡(x)−cos⁡(2x)4\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    cos⁡3(x)3−cos⁡(x)−cos⁡(2x)4+constant\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

cos⁡3(x)3−cos⁡(x)−cos⁡(2x)4+constant\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                                                      3   
 | /   3      sin(2*x)\                   cos(2*x)   cos (x)
 | |sin (x) + --------| dx = C - cos(x) - -------- + -------
 | \             2    /                      4          3   
 |                                                          
/
∫(sin⁡3(x)+sin⁡(2x)2) dx=C+cos⁡3(x)3−cos⁡(x)−cos⁡(2x)4\int \left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = C + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Respuesta [src] 
                          3/p\
                       cos |-|
11      /p\   cos(p)       \2/
-- - cos|-| - ------ + -------
12      \2/     4         3
cos⁡3(p2)3−cos⁡(p2)−cos⁡(p)4+1112\frac{\cos^{3}{\left(\frac{p}{2} \right)}}{3} - \cos{\left(\frac{p}{2} \right)} - \frac{\cos{\left(p \right)}}{4} + \frac{11}{12} 
=
= 
                          3/p\
                       cos |-|
11      /p\   cos(p)       \2/
-- - cos|-| - ------ + -------
12      \2/     4         3
cos⁡3(p2)3−cos⁡(p2)−cos⁡(p)4+1112\frac{\cos^{3}{\left(\frac{p}{2} \right)}}{3} - \cos{\left(\frac{p}{2} \right)} - \frac{\cos{\left(p \right)}}{4} + \frac{11}{12} 
11/12 - cos(p/2) - cos(p)/4 + cos(p/2)^3/3

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор