Integral de (sin^6(t)) dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |  sin (t) dt
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{6}{\left(t \right)}\, dt$$

Integral(sin(t)^6, (t, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{6}{\left(t \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{3}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}$
    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = \sin{\left(2 t \right)}$ .
      
      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)} = - \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)} + \cos{\left(2 t \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\, dt$
      
      que $u = \sin{\left(2 t \right)}$ .
      
      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6}$
      
      que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      
      Método #3
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)} = - \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)} + \cos{\left(2 t \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\, dt$
      
      que $u = \sin{\left(2 t \right)}$ .
      
      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6}$
      
      que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 4 t$ .
      
      Luego que $du = 4 dt$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 t}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{3 \int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$
    1. que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{16}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}$
  El resultado es: $\frac{5 t}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(2 t \right)}$ .
      
      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 4 t$ .
      
      Luego que $du = 4 dt$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 t}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{3 \int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}$
    1. que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{16}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}$
  El resultado es: $\frac{5 t}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}$
Ahora simplificar:

$\frac{5 t}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 t \right)}}{192}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{5 t}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 t \right)}}{192}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 t}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 t \right)}}{192}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                        
 |                                3                        
 |    6             sin(2*t)   sin (2*t)   3*sin(4*t)   5*t
 | sin (t) dt = C - -------- + --------- + ---------- + ---
 |                     4           48          64        16
/

$$\int \sin^{6}{\left(t \right)}\, dt = C + \frac{5 t}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                            3                5          
5    5*cos(1)*sin(1)   5*sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
-- - --------------- - ---------------- - --------------
16          16                24                6

$$- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{5 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24} - \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{6} + \frac{5}{16}$$

                            3                5          
5    5*cos(1)*sin(1)   5*sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
-- - --------------- - ---------------- - --------------
16          16                24                6

5/16 - 5*cos(1)*sin(1)/16 - 5*sin(1)^3*cos(1)/24 - sin(1)^5*cos(1)/6

Respuesta numérica [src]

0.0653635876732911

0.0653635876732911

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de (sin^6(t)) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #3

Método #2