Integral de (2*x-1)^2/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x^{3}} = \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x}\, dx = 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4}{x^{2}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $4 \log{\left(x \right)} + \frac{4}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x^{3}} = \frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{x^{3}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{x^{3}} = \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x}\, dx = 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4}{x^{2}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $4 \log{\left(x \right)} + \frac{4}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $4 \log{\left(x \right)} + \frac{4}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$4 \log{\left(x \right)} + \frac{4}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$