Integral de (3x+1)/x(x^2+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 1}{x} \left(x^{2} + 1\right) = 3 x^{2} + x + 3 + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 1}{x} \left(x^{2} + 1\right) = \frac{3 x^{3} + x^{2} + 3 x + 1}{x}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 3 x + 1}{x} = 3 x^{2} + x + 3 + \frac{1}{x}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$