Integral de (ln^2)*2x dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $2 du$:

   $\int 2 u^{2} e^{2 u}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u^{2} e^{2 u}\, du = 2 \int u^{2} e^{2 u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = 2 u$.

            Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 u}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = 2 u$.

            Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 u}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

         1. que $u = 2 u$.

            Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 u}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} e^{2 u} - u e^{2 u} + \frac{e^{2 u}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} - x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $x^{2} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - \log{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - \log{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - \log{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$