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Resolución de integrales/ t^2-1/ e^(t^2-1)*(t^2+4t-12)

Integral de e^(t^2-1)*(t^2+4t-12) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x                           
  /                           
 |                            
 |    2                       
 |   t  - 1 / 2           \   
 |  E      *\t  + 4*t - 12/ dt
 |                            
/                             
-7
∫−7xet2−1((t2+4t)−12) dt\int\limits_{-7}^{x} e^{t^{2} - 1} \left(\left(t^{2} + 4 t\right) - 12\right)\, dt 
Integral(E^(t^2 - 1)*(t^2 + 4*t - 12), (t, -7, x))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      et2−1((t2+4t)−12)=t2et2e+4tet2e−12et2ee^{t^{2} - 1} \left(\left(t^{2} + 4 t\right) - 12\right) = \frac{t^{2} e^{t^{2}}}{e} + \frac{4 t e^{t^{2}}}{e} - \frac{12 e^{t^{2}}}{e}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫t2et2e dt=∫t2et2 dte\int \frac{t^{2} e^{t^{2}}}{e}\, dt = \frac{\int t^{2} e^{t^{2}}\, dt}{e}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=t2u{\left(t \right)} = t^{2} y que dv⁡(t)=et2\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t^{2}}.

          Entonces du⁡(t)=2t\operatorname{du}{\left(t \right)} = 2 t.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

            ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(t**2), symbol=t)

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫πterfi⁡(t) dt=π∫terfi⁡(t) dt\int \sqrt{\pi} t \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\, dt = \sqrt{\pi} \int t \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\, dt

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4)\sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)

        Por lo tanto, el resultado es: πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4)e\frac{\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)}{e}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4tet2e dt=4∫tet2 dte\int \frac{4 t e^{t^{2}}}{e}\, dt = \frac{4 \int t e^{t^{2}}\, dt}{e}

        1. que u=t2u = t^{2}.

          Luego que du=2tdtdu = 2 t dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          et22\frac{e^{t^{2}}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2et2e\frac{2 e^{t^{2}}}{e}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12et2e) dt=−12∫et2 dte\int \left(- \frac{12 e^{t^{2}}}{e}\right)\, dt = - \frac{12 \int e^{t^{2}}\, dt}{e}

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(t**2), symbol=t)

        Por lo tanto, el resultado es: −6πerfi⁡(t)e- \frac{6 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{e}

      El resultado es: πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4)e+2et2e−6πerfi⁡(t)e\frac{\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)}{e} + \frac{2 e^{t^{2}}}{e} - \frac{6 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{e}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      et2−1((t2+4t)−12)=t2et2e+4tet2e−12et2ee^{t^{2} - 1} \left(\left(t^{2} + 4 t\right) - 12\right) = \frac{t^{2} e^{t^{2}}}{e} + \frac{4 t e^{t^{2}}}{e} - \frac{12 e^{t^{2}}}{e}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫t2et2e dt=∫t2et2 dte\int \frac{t^{2} e^{t^{2}}}{e}\, dt = \frac{\int t^{2} e^{t^{2}}\, dt}{e}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=t2u{\left(t \right)} = t^{2} y que dv⁡(t)=et2\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t^{2}}.

          Entonces du⁡(t)=2t\operatorname{du}{\left(t \right)} = 2 t.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

            ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(t**2), symbol=t)

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫πterfi⁡(t) dt=π∫terfi⁡(t) dt\int \sqrt{\pi} t \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\, dt = \sqrt{\pi} \int t \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\, dt

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4)\sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)

        Por lo tanto, el resultado es: πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4)e\frac{\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)}{e}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4tet2e dt=4∫tet2 dte\int \frac{4 t e^{t^{2}}}{e}\, dt = \frac{4 \int t e^{t^{2}}\, dt}{e}

        1. que u=t2u = t^{2}.

          Luego que du=2tdtdu = 2 t dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          et22\frac{e^{t^{2}}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2et2e\frac{2 e^{t^{2}}}{e}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12et2e) dt=−12∫et2 dte\int \left(- \frac{12 e^{t^{2}}}{e}\right)\, dt = - \frac{12 \int e^{t^{2}}\, dt}{e}

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(t**2), symbol=t)

        Por lo tanto, el resultado es: −6πerfi⁡(t)e- \frac{6 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{e}

      El resultado es: πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4)e+2et2e−6πerfi⁡(t)e\frac{\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)}{e} + \frac{2 e^{t^{2}}}{e} - \frac{6 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{e}

  2. Ahora simplificar:

    2tet2+8et2−25πerfi⁡(t)4e\frac{2 t e^{t^{2}} + 8 e^{t^{2}} - 25 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4 e}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2tet2+8et2−25πerfi⁡(t)4e+constant\frac{2 t e^{t^{2}} + 8 e^{t^{2}} - 25 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4 e}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2tet2+8et2−25πerfi⁡(t)4e+constant\frac{2 t e^{t^{2}} + 8 e^{t^{2}} - 25 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4 e}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                          
 |                                  /         /                          / 2\ \                    \                                         
 |   2                              |         |           2              \t / |     ____  2        |              / 2\                       
 |  t  - 1 / 2           \          |    ____ |erfi(t)   t *erfi(t)   t*e     |   \/ pi *t *erfi(t)|  -1      -1  \t /       ____          -1
 | E      *\t  + 4*t - 12/ dt = C + |- \/ pi *|------- + ---------- - --------| + -----------------|*e   + 2*e  *e     - 6*\/ pi *erfi(t)*e  
 |                                  |         |   4          2            ____|           2        |                                         
/                                   \         \                       2*\/ pi /                    /
∫et2−1((t2+4t)−12) dt=C+πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4)e+2et2e−6πerfi⁡(t)e\int e^{t^{2} - 1} \left(\left(t^{2} + 4 t\right) - 12\right)\, dt = C + \frac{\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)}{e} + \frac{2 e^{t^{2}}}{e} - \frac{6 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{e}
Simplificar
Respuesta [src] 
                             / 2\                                                
   48          / 2\      -1  \x /        ____          -1        ____          -1
3*e        -1  \x /   x*e  *e       25*\/ pi *erfi(7)*e     25*\/ pi *erfi(x)*e  
----- + 2*e  *e     + ----------- - --------------------- - ---------------------
  2                        2                  4                       4
xex22e+2ex2e−25πerfi⁡(x)4e−25πerfi⁡(7)4e+3e482\frac{x e^{x^{2}}}{2 e} + \frac{2 e^{x^{2}}}{e} - \frac{25 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4 e} - \frac{25 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(7 \right)}}{4 e} + \frac{3 e^{48}}{2} 
=
= 
                             / 2\                                                
   48          / 2\      -1  \x /        ____          -1        ____          -1
3*e        -1  \x /   x*e  *e       25*\/ pi *erfi(7)*e     25*\/ pi *erfi(x)*e  
----- + 2*e  *e     + ----------- - --------------------- - ---------------------
  2                        2                  4                       4
xex22e+2ex2e−25πerfi⁡(x)4e−25πerfi⁡(7)4e+3e482\frac{x e^{x^{2}}}{2 e} + \frac{2 e^{x^{2}}}{e} - \frac{25 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4 e} - \frac{25 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(7 \right)}}{4 e} + \frac{3 e^{48}}{2} 
3*exp(48)/2 + 2*exp(-1)*exp(x^2) + x*exp(-1)*exp(x^2)/2 - 25*sqrt(pi)*erfi(7)*exp(-1)/4 - 25*sqrt(pi)*erfi(x)*exp(-1)/4

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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