Integral de (2-x)*(x^2-x^4/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{5}}{4} + \frac{u^{4}}{2} - u^{3} - 2 u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{5}}{4}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{24}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{4}}{2}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{u^{6}}{24} + \frac{u^{5}}{10} - \frac{u^{4}}{4} - \frac{2 u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{6}}{24} - \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 - x\right) \left(- \frac{x^{4}}{4} + x^{2}\right) = \frac{x^{5}}{4} - \frac{x^{4}}{2} - x^{3} + 2 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{5}}{4}\, dx = \frac{\int x^{5}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{4}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x^{4}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{5}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{6}}{24} - \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(5 x^{3} - 12 x^{2} - 30 x + 80\right)}{120}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(5 x^{3} - 12 x^{2} - 30 x + 80\right)}{120}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(5 x^{3} - 12 x^{2} - 30 x + 80\right)}{120}+ \mathrm{constant}$