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Resolución de integrales/ cos^5/ cos^3/ -⅓cos^3+1/5cos^5x+c

Integral de -⅓cos^3+1/5cos^5x+c dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
 |                              
 |  /     3         5       \   
 |  |  cos (x)   cos (x)    |   
 |  |- ------- + ------- + c| dx
 |  \     3         5       /   
 |                              
/                               
0
∫01(c+(cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(c + \left(\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}\right)\right)\, dx 
Integral(-cos(x)^3/3 + cos(x)^5/5 + c, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫c dx=cx\int c\, dx = c x

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡5(x)5 dx=∫cos⁡5(x) dx5\int \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}\, dx = \frac{\int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx}{5}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡5(x)=(1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u4 du\int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u2 du\int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

            El resultado es: sin⁡5(x)5−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u4 du\int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u2 du\int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

            El resultado es: sin⁡5(x)5−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡5(x)25−2sin⁡3(x)15+sin⁡(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{25} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{15} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡3(x)3) dx=−∫cos⁡3(x) dx3\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{3}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}

        2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(x)9−sin⁡(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: sin⁡5(x)25−sin⁡3(x)45−2sin⁡(x)15\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{25} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{45} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{15}

    El resultado es: cx+sin⁡5(x)25−sin⁡3(x)45−2sin⁡(x)15c x + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{25} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{45} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{15}

  2. Añadimos la constante de integración:

    cx+sin⁡5(x)25−sin⁡3(x)45−2sin⁡(x)15+constantc x + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{25} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{45} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

cx+sin⁡5(x)25−sin⁡3(x)45−2sin⁡(x)15+constantc x + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{25} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{45} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                                                                      
 | /     3         5       \                        3         5         
 | |  cos (x)   cos (x)    |          2*sin(x)   sin (x)   sin (x)      
 | |- ------- + ------- + c| dx = C - -------- - ------- + ------- + c*x
 | \     3         5       /             15         45        25        
 |                                                                      
/
∫(c+(cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3)) dx=C+cx+sin⁡5(x)25−sin⁡3(x)45−2sin⁡(x)15\int \left(c + \left(\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}\right)\right)\, dx = C + c x + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{25} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{45} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{15}
Simplificar
Respuesta [src] 
                  3         5   
    2*sin(1)   sin (1)   sin (1)
c - -------- - ------- + -------
       15         45        25
c−2sin⁡(1)15−sin⁡3(1)45+sin⁡5(1)25c - \frac{2 \sin{\left(1 \right)}}{15} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{45} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{25} 
=
= 
                  3         5   
    2*sin(1)   sin (1)   sin (1)
c - -------- - ------- + -------
       15         45        25
c−2sin⁡(1)15−sin⁡3(1)45+sin⁡5(1)25c - \frac{2 \sin{\left(1 \right)}}{15} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{45} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{25} 
c - 2*sin(1)/15 - sin(1)^3/45 + sin(1)^5/25

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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