Integral de 2^(8*x-1)+(8*x-3)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 8 x - 1$.

         Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

         $\int \frac{2^{u}}{8}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{8}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{u}}{8 \log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2^{8 x - 1}}{8 \log{\left(2 \right)}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $2^{8 x - 1} = \frac{2^{8 x}}{2}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2^{8 x}}{2}\, dx = \frac{\int 2^{8 x}\, dx}{2}$

         1. que $u = 8 x$.

            Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

            $\int \frac{2^{u}}{8}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2^{u}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{8}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{u}}{8 \log{\left(2 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2^{8 x}}{8 \log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{8 x}}{16 \log{\left(2 \right)}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $2^{8 x - 1} = \frac{2^{8 x}}{2}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2^{8 x}}{2}\, dx = \frac{\int 2^{8 x}\, dx}{2}$

         1. que $u = 8 x$.

            Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

            $\int \frac{2^{u}}{8}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2^{u}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{8}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{u}}{8 \log{\left(2 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2^{8 x}}{8 \log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{8 x}}{16 \log{\left(2 \right)}}$

   1. que $u = 8 x - 3$.

      Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{u^{2}}{8}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{8}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(8 x - 3\right)^{3}}{24}$

   El resultado es: $\frac{2^{8 x - 1}}{8 \log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(8 x - 3\right)^{3}}{24}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\frac{256^{x}}{16} + \frac{\left(8 x - 3\right)^{3} \log{\left(4 \right)}}{48}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\frac{256^{x}}{16} + \frac{\left(8 x - 3\right)^{3} \log{\left(4 \right)}}{48}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\frac{256^{x}}{16} + \frac{\left(8 x - 3\right)^{3} \log{\left(4 \right)}}{48}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$