Integral de (e^(2*x)+e^x)/(e^x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 1}{u - 1}\, du$

      1. que $u = u - 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 2}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 2}{u} = 1 + \frac{2}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u + 2 \log{\left(u - 1 \right)} - 1$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} - 1 \right)} - 1$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} + e^{2 x}}{e^{x} - 1} = \frac{e^{2 x}}{e^{x} - 1} + \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u}{u - 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u - 1} = 1 + \frac{1}{u - 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. que $u = u - 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 1 \right)}$

            El resultado es: $u + \log{\left(u - 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{x} + \log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

      1. que $u = e^{x} - 1$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

      El resultado es: $e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} - 1 \right)} - 1$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} - 1 \right)} - 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} - 1 \right)} - 1+ \mathrm{constant}$