Integral de 1/cos^6x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sec^{6}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$