Integral de (1-x)(3+2x)/3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(1 - x\right) \left(2 x + 3\right)}{3}\, dx = \frac{\int \left(1 - x\right) \left(2 x + 3\right)\, dx}{3}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(2 u^{2} - u - 3\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-3\right)\, du = - 3 u$

            El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2} - 3 u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - x\right) \left(2 x + 3\right) = - 2 x^{2} - x + 3$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 3\, dx = 3 x$

         El resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{6} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(- 4 x^{2} - 3 x + 18\right)}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(- 4 x^{2} - 3 x + 18\right)}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- 4 x^{2} - 3 x + 18\right)}{18}+ \mathrm{constant}$