Integral de (1/sqrt(4x^2+1))+5^(3x-1) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 3 x - 1$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{5^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{3}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{3 \log{\left(5 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5^{3 x - 1}}{3 \log{\left(5 \right)}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $5^{3 x - 1} = \frac{5^{3 x}}{5}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5^{3 x}}{5}\, dx = \frac{\int 5^{3 x}\, dx}{5}$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{5^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{3}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{3 \log{\left(5 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{5^{3 x}}{3 \log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{3 x}}{15 \log{\left(5 \right)}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $5^{3 x - 1} = \frac{5^{3 x}}{5}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5^{3 x}}{5}\, dx = \frac{\int 5^{3 x}\, dx}{5}$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{5^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{3}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{3 \log{\left(5 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{5^{3 x}}{3 \log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{3 x}}{15 \log{\left(5 \right)}}$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta)/2, rewritten=sec(_theta)/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=sec(_theta), substep=RewriteRule(rewritten=(tan(_theta)*sec(_theta) + sec(_theta)**2)/(tan(_theta) + sec(_theta)), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=tan(_theta) + sec(_theta), constant=1, substep=ReciprocalRule(func=_u, context=1/_u, symbol=_u), context=(tan(_theta)*sec(_theta) + sec(_theta)**2)/(tan(_theta) + sec(_theta)), symbol=_theta)], context=(tan(_theta)*sec(_theta) + sec(_theta)**2)/(tan(_theta) + sec(_theta)), symbol=_theta), context=sec(_theta), symbol=_theta), context=sec(_theta)/2, symbol=_theta), restriction=True, context=1/(sqrt(4*x**2 + 1)), symbol=x)

   El resultado es: $\frac{5^{3 x - 1}}{3 \log{\left(5 \right)}} + \frac{\log{\left(2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1} \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\frac{125^{x}}{15} + \frac{\log{\left(30517578125 \right)} \log{\left(2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1} \right)}}{30}}{\log{\left(5 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\frac{125^{x}}{15} + \frac{\log{\left(30517578125 \right)} \log{\left(2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1} \right)}}{30}}{\log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\frac{125^{x}}{15} + \frac{\log{\left(30517578125 \right)} \log{\left(2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1} \right)}}{30}}{\log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$