Integral de 1/(2√x+1) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2 u}{2 u + 1}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u}{2 u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{2 u + 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{2 u + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 u + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{2 u + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 u + 1$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $u - \frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\sqrt{x} - \frac{\log{\left(2 \sqrt{x} + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{x} - \frac{\log{\left(2 \sqrt{x} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{x} - \frac{\log{\left(2 \sqrt{x} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$