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Resolución de integrales/ arctg/ tg(x)/ ln(arctg(x))

Integral de ln(arctg(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |  log(atan(x)) dx
 |                 
/                  
0
∫01log⁡(atan⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}\, dx 
Integral(log(atan(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(atan⁡(x))u{\left(x \right)} = \log{\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=1(x2+1)atan⁡(x)\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

    Pero la integral

    ∫x(x2+1)atan⁡(x) dx\int \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\, dx

  3. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(atan⁡(x))−∫x(x2+1)atan⁡(x) dx+constantx \log{\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(atan⁡(x))−∫x(x2+1)atan⁡(x) dx+constantx \log{\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                           /                                    
  /                       |                                     
 |                        |        x                            
 | log(atan(x)) dx = C -  | ---------------- dx + x*log(atan(x))
 |                        | /     2\                            
/                         | \1 + x /*atan(x)                    
                          |                                     
                         /
∫log⁡(atan⁡(x)) dx=C+xlog⁡(atan⁡(x))−∫x(x2+1)atan⁡(x) dx\int \log{\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}\, dx = C + x \log{\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |  log(atan(x)) dx
 |                 
/                  
0
∫01log⁡(atan⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}\, dx 
=
= 
  1                
  /                
 |                 
 |  log(atan(x)) dx
 |                 
/                  
0
∫01log⁡(atan⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} \right)}\, dx 
Integral(log(atan(x)), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
-1.09053160599539
-1.09053160599539

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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