Integral de (e^(2*x)+e^(x*(-2)))/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{e^{\left(-2\right) x} + e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{\int \left(e^{\left(-2\right) x} + e^{2 x}\right)\, dx}{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. que $u = \left(-2\right) x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{\left(-2\right) x}}{2}$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 x}}{2}$

      El resultado es: $\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{e^{\left(-2\right) x}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{\left(-2\right) x}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sinh{\left(2 x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sinh{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sinh{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$