Integral de ctg(3x+5) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\cot{\left(3 x + 5 \right)} = \frac{\cos{\left(3 x + 5 \right)}}{\sin{\left(3 x + 5 \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(3 x + 5 \right)}$.

      Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x + 5 \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x + 5 \right)} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = 3 x + 5$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \sin{\left(u \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du}{3}$

         1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x + 5 \right)} \right)}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x + 5 \right)} \right)}}{3}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x + 5 \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x + 5 \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$