Integral de ctg(x/2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{x}{2}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = 2 \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du$

         1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$