Integral de 1/(3-x)^(5/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(3 - x\right)^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{3 - x} - 6 x \sqrt{3 - x} + 9 \sqrt{3 - x}}$

   2. que $u = \sqrt{3 - x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{3 - x}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2}{6 u^{2} + \left(3 - u^{2}\right)^{2} - 9}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{6 u^{2} + \left(3 - u^{2}\right)^{2} - 9}\, du = - 2 \int \frac{1}{6 u^{2} + \left(3 - u^{2}\right)^{2} - 9}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{6 u^{2} + \left(3 - u^{2}\right)^{2} - 9} = \frac{1}{u^{4}}$

         2. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2}{3 \left(3 - x\right)^{\frac{3}{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(3 - x\right)^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{3 - x} - 6 x \sqrt{3 - x} + 9 \sqrt{3 - x}}$

   2. que $u = \sqrt{3 - x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{3 - x}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2}{6 u^{2} + \left(3 - u^{2}\right)^{2} - 9}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{6 u^{2} + \left(3 - u^{2}\right)^{2} - 9}\, du = - 2 \int \frac{1}{6 u^{2} + \left(3 - u^{2}\right)^{2} - 9}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{6 u^{2} + \left(3 - u^{2}\right)^{2} - 9} = \frac{1}{u^{4}}$

         2. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2}{3 \left(3 - x\right)^{\frac{3}{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2}{3 \left(3 - x\right)^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2}{3 \left(3 - x\right)^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$