Integral de (3x+12)/(x+6)^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x + 6}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 6}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(6 u^{2} - 12\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{2}\, du = 6 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-12\right)\, du = - 12 u$

         El resultado es: $2 u^{3} - 12 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \left(x + 6\right)^{\frac{3}{2}} - 12 \sqrt{x + 6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 12}{\sqrt{x + 6}} = \frac{3 x}{\sqrt{x + 6}} + \frac{12}{\sqrt{x + 6}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{\sqrt{x + 6}}\, dx = 3 \int \frac{x}{\sqrt{x + 6}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x + 6}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 \left(x + 6\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 2 \left(-6 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} + 72 - \frac{12}{u^{2}}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 \left(-6 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(-6 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du$

                  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                     Método #1

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(-6 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 36 - \frac{12}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 36\, du = 36 u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{12}{u^{2}}\right)\, du = - 12 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{u}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        El resultado es: $36 u + \frac{12}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     Método #2

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(-6 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = \frac{36 u^{4} - 12 u^{2} + 1}{u^{4}}$

                     2. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{36 u^{4} - 12 u^{2} + 1}{u^{4}} = 36 - \frac{12}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                     3. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 36\, du = 36 u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{12}{u^{2}}\right)\, du = - 12 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{u}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        El resultado es: $36 u + \frac{12}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 72 u - \frac{24}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 72\, du = 72 u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{12}{u^{2}}\right)\, du = - 12 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{u}$

               El resultado es: $- \frac{12}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(x + 6\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 12 \sqrt{x + 6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(x + 6\right)^{\frac{3}{2}} - 36 \sqrt{x + 6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{\sqrt{x + 6}}\, dx = 12 \int \frac{1}{\sqrt{x + 6}}\, dx$

         1. que $u = x + 6$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{x + 6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $24 \sqrt{x + 6}$

      El resultado es: $2 \left(x + 6\right)^{\frac{3}{2}} - 12 \sqrt{x + 6}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x \sqrt{x + 6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x \sqrt{x + 6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x \sqrt{x + 6}+ \mathrm{constant}$